\documentclass[spanish,a4paper]{article}

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\author{G. Sebasti\'an Pedersen \\
\small{\texttt{(sebasped@gmail.com)}}
}
\title{Aproximaciones mediante Plano Tangente y Diferenciales}
\date{\small\textsf{Versi\'on 1: mayo de 2011}}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Recordar}
Si $f:A\subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $f(x,y)=z$, $P_0=(x_0,y_0)$, entonces el plano tangente al gr\'afico de $f$ en el punto $P_0$ tiene ecuaci\'on:
$$Z_T(x,y) = f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$$
Y el diferencial se define como:
$$df = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\Delta y \qquad \text{con} \quad \Delta x = x-x_0 \quad \text{y} \quad \Delta y = y-y_0$$

Adem\'as, valen las aproximaciones:
$$f(x,y) \simeq Z_T (x,y) \qquad \text{si} \quad (x,y) \simeq (x_0,y_0)$$
$$f(x,y) \simeq f(x_0,y_0) + df \qquad \text{si} \quad (x,y) \simeq (x_0,y_0)$$

\section*{Ejercicios}
\paragraph{1)} Aproximar $\text{ln}(1,\!2)+\text{e}^{0,\!1}$ mediante el plano tangente al gr\'afico de una $f(x,y)$ y en un $(x_0,y_0)$ convenientes.
\paragraph{Resoluci\'on:} Podemos elegir $f(x,y)=\text{ln}(x)+\text{e}^y$, $x_0=1$ e $y_0=0$. Ahora calculemos el plano tangente:
\begin{align*}
Z_T(x,y) &= f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)\\
Z_T(x,y) &= f(1,0) + \frac{\partial f}{\partial x}(1,0)(x-1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)(y-0)\\
\end{align*}
Luego:
\begin{align*}
f(1,0) &= \text{ln}(1)+\text{e}^0\\
f(1,0) &= 0+1\\
f(1,0) &= 1\\
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{1}{x}\\
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = \frac{1}{1}\\
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = 1\\
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \text{e}^y\\
\frac{\partial f}{\partial y}(1,0) = \text{e}^0\\
\frac{\partial f}{\partial y}(1,0) = 1\\
\end{align*}

Y entonces:
\begin{align*}
Z_T(x,y) &= f(1,0) + \frac{\partial f}{\partial x}(1,0)(x-1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1,0)(y-0)\\
Z_T(x,y) &= 1 + 1(x-1) + 1(y-0)\\
Z_T(x,y) &= 1 + x-1 + y\\
Z_T(x,y) &= x + y\\
\end{align*}

Luego calculamos la aproximaci\'on y listo:
\begin{align*}
f(x,y) &\simeq Z_T (x,y) \qquad \text{si} \quad (x,y) \simeq (x_0,y_0)\\
\text{ln}(1,\!2)+\text{e}^{0,\!1} = f(1,\!2;0,\!1) &\simeq Z_T (1,\!2;0,\!1) \qquad \text{si} \quad (1,\!2;0,\!1) \simeq (1,0)\\
\text{ln}(1,\!2)+\text{e}^{0,\!1} &\simeq Z_T (1,\!2;0,\!1)\\
\text{ln}(1,\!2)+\text{e}^{0,\!1} &\simeq 1,\!2 + 0,\!1\\
\text{ln}(1,\!2)+\text{e}^{0,\!1} &\simeq 1,\!3\\
\end{align*}

\emph{Respuesta:} \fbox{$\text{ln}(1,\!2)+\text{e}^{0,\!1} \simeq 1,\!3$}







\end{document}

